Unidad 1 - Funciones y Ecuaciones

Funciones y Ecuaciones

Eje Cartesiano

Para ubicar puntos en un plano se utiliza un sistema de ejes. Este se denomina sistema de ejes cartesianos. Son dos rectas perpendiculares entre sí, la horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas y se simboliza con una letra x, mientras que la vertical, eje de ordenadas y se simboliza con una y.

Cada punto queda determinado por un valor en el eje de abscisas y otro en el eje de ordenadas, es decir, que cada punto está determinado por un par ordenado donde el primer valor representa la abscisa y el segundo la ordenada.

Si se observa un sistema de ejes cartesianos, se puede ver que el plano queda dividido en cuatro partes o cuadrantes. El primero tiene abscisa y ordenada positiva, el segundo abscisa negativa y ordenada positiva, el tercero, los valores son negativos y el cuarto la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

LOS EJERCICIOS DE ESTA SECCIÓN SON LOS QUE REALIZAMOS EN CLASES

Interpretación de graficas

Una gráfica representa la relación que existe entre dos variables mediante puntos en un plano. Para realizar el análisis de una gráfica, se debe tener en cuenta que ocurre con los valores de la ordenada a medida que varían los valores de la abscisa.

Al aumentar el valor de x, puede ocurrir que el valor de y

• aumente, entonces, la gráfica aumenta.
• Disminuya, entonces, la gráfica disminuye.
• Se mantenga igual, entonces, la gráfica es constante.

6.    Observa la gráfica y coloca A (aumenta), C (constante) o D (disminuye)

7.    Observa la gráfica (ejercicio 8) y completar los pares ordenados. Similar al ejercicio N° 2 trabajado en clases.

8.    Escribir todos los puntos que cumplan con cada condición

a)   Tengan ordenada igual a 3:

b)   Tengan las componentes iguales:

Observar la gráfica y responder

c)    ¿entre que valores varia la abscisa?

d)   ¿entre cuales la ordenada?

e)   ¿Entre que valores de x la gráfica es negativa?

f)     ¿entre cuales es positiva?

g)    ¿Y entre cuales es constante?

9.    La gráfica muestra las temperaturas máximas y mínimas de una ciudad durante los primeros 15 días de julio

Observar el gráfico y responder

a)   ¿entre que valores se registraron las temperaturas máximas?

b)   ¿y entre cuales las temperaturas mínimas?

c)    ¿en que días las temperaturas máximas fueron menores que 0° C?

d)   ¿En qué periodo las temperaturas máximas aumentaron?

e)   ¿en cuales disminuyeron?

f)     ¿entre que días las temperaturas máximas tuvieron un menor aumento?

g)    ¿en qué periodo las temperaturas mínimas fueron menores a -5° C?

h)   ¿Cuál fue la amplitud térmica del 7 de Julio?

11.  Mariano y Luis son compañeros de clase y acuerdan en salir un día. A las 10 hs., Mariano sale de su casa a y busca a Luis, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en un bar a tomar una gaseosa. Al regreso se acercan a la casa de unos compañeros a pedir unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa.

A partir del siguiente gráfico que muestra todo el recorrido que hicieron Mariano y Luis, responde las preguntas.

       a)      ¿Qué distancia hay desde la casa de Mariano a la casa de Luis?

b)      ¿Cuánto tiempo esperó Mariano a que bajara Luis?

c)      ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar al bar?

d)      ¿A qué hora salieron del bar?

e)      ¿Cuánto tiempo estuvieron juntos Mariano y Luis?

Funciones

Definición de una función

La definición queda determinada por un conjunto A, llamado dominio, un conjunto B y una ley de correspondencia que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento y del conjunto B. Se escribe (se lee la función de A en B).

Funciones de una variable Real

Las funciones que más nos van a interesar en matemáticas son las funciones numéricas. Consideremos que x toma valores sobre un conjunto de los números reales, y los correspondientes valores de y también serán reales, de modo que estudiaremos funciones reales de una variable real.

 Dominio: es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable independiente; será un subconjunto no vacío de números reales o todos los números reales.

Imagen o Rango: es el conjunto de los valores que toma la variable dependiente o sea todas las imágenes de los elementos del dominio; para casos de funciones de variable real, será un subconjunto no vacío de números reales o todos los reales.

Distintas formas de representación

Una función se puede expresar por su gráfica, por un enunciado que describe el fenómeno, por una tabla o mediante una formula con la que relaciona las dos variables.

Por su gráfica:

Describe la temperatura ambiental, en un cierto lugar, en cada instante de un dia. Sobre el eje horizontal los valores representa la variable tiempo medido en horas, y en el eje vertical la temperatura medido en °C.


 Por enunciado:

El precio de las manzanas varían a lo largo de un año de la siguiente forma. En el primer mes del año se mantiene estable a $25 por kilogramo. A fines de febrero comienza a bajar hasta mediado de abril que llegan a $15 el kilogramo manteniéndose a ese valor hasta fines de mayo, en junio comienza a subir hasta llegar a un valor de $40. A fin de noviembre nuevamente baja, teniendo a fin de año un precio de $25 por kilogramo.

Por una tabla:

El costo del envío de paquetes postales de hasta 12 Kilogramos depende del peso del mismo. La tabla muestra la relación: peso del paquete – costo.

Peso en Kilogramo	Menos de 5	De 5 a 5,99	De 6 a 6,99	De 7 a 7,99	De 8 a 8,99	De 9 a 9,99	De 10 a 12
Costo en pesos	45	50	55	65	75	90	110

Por una fórmula:

La formula  describe la caída de una piedra desde un edificio de 50 metros de altura, es decir que la formula permite calcular la distancia de la piedra hasta el suelo después de t segundos.

Cuando las funciones están definidas mediante una fórmula matemática, se pueden calcular los valores de la variable y, para ello, se debe despejar el valor de y.

x	y
-5
-3
0
4
7

En la gráfica, se obtienen todas las soluciones de la ecuación.

Cualquier punto del grafico cumple con la condición que

12.        Despejar y en cada función y completar la tabla.

a)      x y

b)       x y

13.        Hallar la función, completar la tabla y graficar.

a)       La diferencia entre dos números es tres.  x y

Función Inversa

Dados los conjuntos A y B y una función f : A → B, se define f^-1, la relación inversa de  f^-1 : B → A. entonces se dice que f^-1 es la función inversa de f.